EsPCEx 2014/2015 - Modelo D - Questão 06

Um cone de revolução tem altura $4$ cm e está circunscrito a uma esfera de raio $1$ cm. O volume desse cone $\left( \mbox{em} \, \mbox{cm}^{3} \right)$ é igual a

[A] $\dfrac{1}{3} \pi$.

[B] $\dfrac{2}{3} \pi$.

[C] $\dfrac{4}{3} \pi$.

[D] $\dfrac{8}{3} \pi$.

[E] $3 \pi$.

Solução

Seja $P$ o ponto de tangência entre a esfera e a geratriz do cone, conforme a figura abaixo:

Temos que os lados $OP$ e $OA$ medem, respectivamente, $1$ e $3$. Pelo Teorema de Pitágoras, temos:

$$OP^{2} + AP^{2} = OA^{2} \Rightarrow AP = \sqrt{3^{2} - 1^{2}} \Rightarrow AP = 2 \sqrt{2}$$ Como os triângulos $AOP$ e $ABQ$ são semelhantes, temos:

$$\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{OP}{BQ} \Leftrightarrow \dfrac{2 \sqrt{2}}{4} = \dfrac{1}{BQ} \Leftrightarrow BQ = \sqrt{2}$$ Logo, o volume é dado por:

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot AB \cdot BQ^{2} = \dfrac{8}{3} \pi$$ Alternativa: Letra D



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